2021年豫章师范学院专升本《高等数学一》考试大纲

　　【导读】江西省专升本为大家带来2021年豫章师范学院专升本《高等数学一》考试大纲的内容，供考生们参考。

　　总体要求

　　考生应按照本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数与极限、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、无穷级数的基本概念与基本理论。学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论、基本性质和基本方法进行推理证明和计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

　　一、函数、极限和连续

　　(一)函数

　　1.知识范围

　　(1)函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数;

　　(2)函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性;

　　(3)反函数：反函数的定义、反函数的图象;

　　(4)函数的四则运算与复合运算;

　　(5)基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;

　　(6)初等函数。

　　2.要求

　　(1)理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式、函数值和值域，会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数图像;

　　(2)理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别;

　　(3)了解函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)之间的关系(定义域、值域、图象)，会求单调函数的反函数;

　　(4)理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程;

　　(5)掌握基本初等函数的简单性质及其图象;

　　(6)了解初等函数的概念。

　　(二)极限

　　1.知识范围

　　(1)数列极限的概念：数列、数列极限的定义;

　　(2)数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、四则运算定理、夹逼定理、单调有界定理、数列极限存在定理;

　　(3)函数极限的概念：函数在一点处的极限定义左、右极限及其与极限的关系x趋于无穷(x→∞，x→+∞，x→-∞)时函数的极限，函数极限的几何意义 ;

　　(4)函数极限的定理：唯一性定理、局部保号性定理、夹逼定理、单调有界定理、四则运算定理、复合函数极限定理;

　　(5)无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量与无穷大量的性质、两个无穷小量阶的比较;

　　(6)两个重要极限。

　　2.要求

　　(1)理解极限的概念(对极限定义中“ε-N”、“ε-δ”、“ε-M”的描述不作要求)，能根据极限概念分析函数的变化趋势，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件;

　　(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则和复合函数的极限法则;

　　(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，了解无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，熟练运用等价无穷小量代换求极限;

　　(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

　　(三)连续

　　1.知识范围

　　(1)函数连续的概念：函数在一点连续的充分必要条件、函数的间断点及其分类;

　　(2)函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性;

　　(3)闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理(包括零点定理);

　　(4)初等函数的连续性。

　　2.要求

　　(1)理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系;

　　(2)会求函数的间断点并确定其类型;

　　(3)掌握在闭区间上连续函数的性质、会运用介值定理证明相关命题;

　　(4)理解初等函数连续性，会利用函数连续性求极限。

　　二、一元函数微分学

　　(一)导数与微分

　　1.知识范围

　　(1)导数概念：导数的定义、左导数与右导数、导数的几何意义、可导与连续的关系;

　　(2)求导法则与导数的基本公式、导数的四则运算、反函数的导数、导数的基本公式;

　　(3)求导方法：复合函数的求导法、对数求导法、由参数方程确定的函数的求导法、分段函数的导数;

　　(4)高阶导数的概念：高阶导数的定义、高阶导数的计算;

　　(5)微分：微分的定义、微分与导数的关系、微分法则、一阶微分形式不变性。

　　2.要求

　　(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数;

　　(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程;

　　(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数;

　　(4)掌握对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数;

　　(5)理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数;

　　(6)理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

　　(二)中值定理及导数的应用

　　1.知识范围

　　(1)中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

　　(2)洛必达法则;

　　(3)函数单调性的判定方法;

　　(4)函数极值与极值点、最大值与最小值;

　　(5)曲线的凹凸性、拐点。

　　2.要求

　　(1)了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及它们的几何意义，会用罗尔中值定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明简单的不等式或等式;

　　(2)熟练掌握洛必达法则，会求“0/0”、“∞/∞”、“0·∞”、“∞-∞”、“1∞”，“∞0”和“00”型未定式的极限;

　　(3)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式;

　　(4)理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，会解简单的应用问题;

　　(5)会判定曲线的凹凸性，会求曲线拐点坐标。

　　三、一元函数积分学

　　(一)不定积分

　　1.知识范围

　　(1)不定积分的概念：原函数与不定积分的定义、原函数存在定理、不定积分的性质;

　　(2)基本积分公式;

　　(3)换元积分法第一换元法(凑微分法)、第二换元法;

　　(4)分部积分法。

　　2.要求

　　(1)理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理;

　　(2)熟练掌握不定积分的基本公式;

　　(3)熟练掌握不定积分第一换元法和第二换元法;

　　(4)熟练掌握不定积分的分部积分法;

　　(5)会求简单有理函数的不定积分。

　　(二)定积分

　　1.知识范围

　　(1)定积分的概念：定积分的定义及其几何意义;

　　(2)定积分的性质;

　　(3)定积分的计算：变上限的定积分、牛顿一莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法;

　　(4)无穷区间的广义积分。

　　2.要求

　　(1)理解定积分的概念与几何意义;

　　(2)掌握定积分的基本性质;

　　(3)理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导的方法;

　　(4)掌握牛顿一莱布尼茨公式;

　　(5)熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法;

　　(6)理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

　　四、无穷级数

　　(一)数项级数

　　1.知识范围

　　(1)数项级数：数项级数的概念、级数的收敛与发散级数的基本性质、级数收敛的必要条件;

　　(2)正项级数敛散性的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法;

　　(3)一般项级数：交错级数、绝对收敛、条件收敛。

　　2.要求

　　(1)理解级数收敛、发散的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质;

　　(2)熟练掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用正项级数的判别法判断级数的敛散性;

　　(3)掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性;

　　(4)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用菜布尼茨判别法判别级数的敛散性。

　　(二)幂级数

　　(1)幂级数的概念：收敛半径、收敛区间、收敛域;

　　(2)幂级数的基本性质;

　　(3)将简单的初等函数展开为幂级数。

　　2.要求

　　(1)了解幂级数的概念;

　　(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项求积);

　　(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域的方法;

　　(4)会运用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，l/(1-x)的麦克劳林级数，将一些简单的初等函数展开为x或x-x0的幂级数。

　　试卷总分：150分

　　考试时间：150分钟

　　试卷内容比例

　　函数、极限和连续约30%，一元函数微分学约30%，一元函数积分学约30%，无穷级数约10%。

　　试卷题型比例

　　选择题约15%，填空题约25%，计算题约40%，综合题约20%。

　　试题难易比例

　　容易题约40%，中等难度题约50%，较难题约10%。

　　主要参考书

　　高等数学第七版上、下册，同济大学编，高等教育出版社。

　　【结尾】以上是2021年豫章师范学院专升本《高等数学一》考试大纲的相关内容，关注江西专升本考试网，获取到江西专升本常见问题、报考指南、政策公告、考试大纲、复习备考等，加入江西专升本交流群、与老师同学一起交流升本上岸!