南昌大学科学技术学院2020年专升本《高等数学》考试大纲

　　本大纲适用于理工科类各专业。

　　二、总体要求

　　本大纲规定了我院专升本考试对《高等数学》的总体要求，考生应按本大纲的要求， 了解或理解“高等数学”中的函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何与向量代数、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等方面的基本概念和基本理论，学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法，应注意各部分知识的结构及知识的内在联系，应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力， 能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算，能综合运用所学知识分析并解决简单的实际应用问题。

　　本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

　　三、考试内容

　　(一) 函数、极限和连续

　　1.函数

　　(1) 理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值;会求分段函数的定义域、函数值;掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性;会判断所给函数的类别。

　　(2)了解函数与其反函数之间的关系( 定义域、值域、图象)，会求单调函数的反函数。

　　(3)理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

　　(4) 掌握基本初等函数的简单性质及其图象;了解初等函数的概念;会建立简单实际问题的函数关系式。

　　2.极限

　　(1) 理解极限的概念;能根据极限概念分析函数的变化趋势;会求函数在一点处的左极限与右极限;了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

　　(2) 了解极限的有关性质;掌握极限的四则运算法则。

　　(3) 理解无穷小量、无穷大量的概念;掌握无穷小量的性质及无穷小量与无穷大量的关系;会进行无穷小量阶的比较;会运用等价无穷小量代换求极限。

　　(4) 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

　　3.连续

　　(1) 理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数(含分段函数) 在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

　　(2) 会求函数的间断点及确定其类型。

　　(3) 掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。

　　(4) 理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

　　(二) 一元函数微分学

　　1.导数与微分

　　(1) 理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

　　(2) 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

　　(3) 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法， 会求反函数的导数。

　　(4) 掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法。

　　(5) 理解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数。

　　(6) 理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

　　2.中值定理及导数的应用

　　(1) 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义;会用罗尔定理证明方程根的存在性;会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

　　(2) 熟练掌握利用洛必达法则求各种未定式极限的方法。

　　(3) 掌握利用导数判定函数的单调性，掌握函数的单调区间的求解方法， 会利用函数的单调性证明简单的不等式。

　　(4) 理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并且会解简单的应用问题。

　　(5) 会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

　　(6) 会求曲线的斜渐近线、水平渐近线和垂直渐近线。

　　(三) 一元函数积分学

　　1.不定积分

　　(1) 理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。

　　(2) 熟练掌握不定积分的基本积分公式。

　　(3) 熟练掌握不定积分第一类换元积分法，掌握第二类换元换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。

　　(4) 熟练掌握不定积分的分部积分法。

　　(5) 会求简单有理函数的不定积分。

　　2.定积分

　　(1) 理解定积分的概念与几何意义;掌握定积分的基本性质。

　　(2) 理解变上限积分的概念，掌握对变上限积分求导数的方法。

　　(3) 掌握牛顿— 莱布尼茨公式;掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

　　(4) 理解无限区间和无界函数的广义积分的概念，掌握其计算方法。

　　(5) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积;会用定积分求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积，会用定积分求平面曲线的弧长。

　　(四) 空间解析几何与向量代数

　　1.向量代数

　　(1) 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法;会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

　　(2) 掌握向量的线性运算、向量的数量积(点积) 与向量积(叉积) 的计算方法。

　　(3) 掌握两个向量平行、垂直的条件。

　　2.平面与直线

　　(1) 会求平面的点法式方程、一般式方程;会判定两平面的垂直、平行。

　　(2) 会求点到平面的距离。

　　(3) 了解直线的一般式方程，会求直线的点向式方程、参数式方程;会判定两直线平行、垂直。

　　(4) 会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。

　　3.简单的二次曲面

　　了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。

　　(五) 多元函数微积分

　　1.多元函数微分学

　　(1) 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念;会求二元函数的定义域。

　　(2) 理解偏导数概念，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

　　(3) 掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法;掌握多元复合函数偏导数的计算方法。

　　(4) 会求二元函数的全微分。

　　(5) 掌握二元函数隐函数的偏导数计算方法。

　　(6) 会求二元函数的无条件极值和条件极值。

　　2.重积分

　　(1) 理解二重积分的概念及其性质。

　　(2) 掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。

　　(六) 无穷级数

　　1.常数项级数

　　(1) 理解级数收敛、发散的概念;掌握级数收敛的必要条件;了解级数的基本性质。

　　(2) 掌握正项级数的比较、比值和根值判别准则，掌握交错级数敛散性判定方法，会使用莱布尼茨准则。

　　(3) 掌握等比级数(几何级数)、调和级数及 P 级数的敛散性。

　　(4) 掌握级数绝对收敛与条件收敛的判定。

　　2.幂级数

　　(1)了解幂级数的概念。

　　(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质( 和、差、逐项求导与逐项积分) 。

　　(3) 掌握幂级数的收敛半径、收敛域以及和函数的计算方法。

　　(七) 常微分方程

　　1.一阶微分方程

　　(1)理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

　　(2) 掌握可分离变量微分方程的解法，掌握齐次微分方程的解法， 掌握一阶线性微分方程的解法。

　　2.二阶微分方程

　　(1) 了解可降阶的二阶微分方程，了解二阶线性微分方程解的结构。

　　(2) 掌握可降阶的二阶微分方程的解法。

　　(3) 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

　　四、考试形式

　　试卷总分：150 分考试时间：120 分钟

　　考试方式：闭卷，笔试

　　五、试卷结构

　　1.试卷内容比例

　　2.试卷题型比例

　　3.试题难易比例

　　六、参考教材

　　《高等数学(第六版)》( 上、下册) 同济大学数学系编著， 高等教育出版社。